Сын новозеландского овцевода, он выступал за Ferrari с 1967 по 1969 год и много раз поднимался на подиумы, среди которых третье место на Гран-при Монако в первой гонке за Скудерию, в возрасте всего 23 лет. В 1967 году он четырежды занимал третье место.

В 1968 году он мог стать одним из претендентов на чемпионский титул. Комбинация «Эймон / Ferrari» была самой быстрой в сезоне. Он трижды занимал поул-позицию, был на первом ряду стартовой решетки в восьми из двенадцати гонок и много раз лидировал по ходу гран-при. Тем не менее, ему раз за разом не удавалось победить, как правило, из-за банальных механических неисправностей. 

Когда он лидировал на Гран-при Испании, сгорел предохранитель топливного насоса. На трассе Спа в Бельгии он был самым быстрым в квалификации, опередив соперников почти на четыре секунды, и боролся за лидерство в гонке, пока камень не пробил масляный радиатор его Ferrari. На Гран-при Великобритании он занял второе место после дуэли за лидерство на протяжении всей гонки. На Гран-при Канады Эймон был близок к победе, но его остановила поломка коробки передач. 

Эймон вышел в лидеры второй гонки чемпионата мира 1969 года, Гран-при Испании, но через 40 секунд отказал двигатель. Он покинул Ferrari в конце того неудачного сезона, решив, что сможет добиться большего в небольшой британской команде, использовавшей доминировавший в то время двигатель V8 Cosworth. Это была плохая идея. В 1970 году Ferrari выглядела очень неплохо благодаря новому болиду 312B с плоским 12-цилиндровым двигателем. Новый лидер команды Джеки Икс выиграл три гонки и занял второе место в чемпионате пилотов.  

Несмотря на то, что Эймон не выиграл ни одного гран-при чемпионата мира, ему сопутствовал успех во многих других автоспортивных соревнованиях. Его контракт с Ferrari включал гонки спорткаров, и здесь он стал партнером Лоренцо Бандини в незабываемой победе на 24 часах Дайтоны в 1967 году, управляя 330 P4. Это была одна из величайших побед Скудерии, когда Ferrari заняли первое, второе и третье место на финише. В том же году он выиграл 1000-километровую гонку спорткаров в Монце и помог Ferrari занять первое место в кубке производителей спорткаров 1967 года.

Он выиграл серию Tasman за Ferrari в 1969 году, в последний год, когда этот чемпионат имел международный статус. Серия Tasman, проводившаяся в Новой Зеландии и Австралии в январе и феврале — зимнее межсезонье Формулы-1, — предполагала участие дефорсированных болидов Формулы-1 и их аналогов. Управляя Dino 246 с V6 — по сути, болидом Формулы-2 с увеличенной мощностью двигателя — Эймон выиграл четыре из семи гонок, включая гран-при Новой Зеландии и гран-при Австралии. Среди проигравших ему гонщиков был действующий чемпион мира Грэм Хилл.

Эймон покинул Новую Зеландию в возрасте 19 лет в начале 60-х после того, как его заметил владелец английской команды Формулы-1 Рег Парнелл. Он увидел Эймона в гонках на старом Maserati 250F и был поражен его мастерством — только Фанхио мог так хорошо управлять 250F. К середине 70-х «Киви» не скрывал своего желания вернуться в Новую Зеландию. В конце концов он ушел из Формулы-1 в возрасте 33 лет после ужасной аварии Ники Лауды на Нюрбургринге в 1976 году. Эймон уехал на родину в 1977 году, чтобы управлять своей семейной овцеводческой фермой вместе с женой Тиш. Он умер от рака в возрасте 73 лет в 2016 году.

Как-то, спустя долгое время после ухода из автогонок, его спросили, что он думает о своем пресловутом невезении. «Нет, — ответил он. — Я был одним из счастливчиков. Так много друзей и товарищей по команде той эпохи погибли, а я все еще здесь».