Nei sei anni successivi Robert brilla in diverse competizioni per kart, conquistando anche la medaglia di bronzo nel Campionato KF – Junior Karting. Nel 2014 debutta alla guida di una monoposto nel campionato italiano di Formula 4. L’anno successivo si piazza al terzo posto con tre affermazioni per il team Mücke Motorsport (due volte ad Adria e a Misano). Nel 2015 e nel 2016 gareggia nella Formula 4 tedesca, in Eurocup Formula Renault 2.0 e Formula Renault 2.0 NEC in cui ottiene due vittorie con il Josef Kaufmann Racing (Nürburgring e Hockenheim).
Nel 2017 corre in Eurocup Formula Renault 2.0 con il team R-ace GP e ottiene la terza posizione, conquistando sei vittorie (Monza, Silverstone, Pau, Nürburgring e due volte a Barcellona) e sette pole position. Nel 2018 partecipa alla Toyota Racing Series NZ laureandosi campione con una vittoria a Taupo per il team M2 Competition. Dopo questa esperienza esordisce nel campionato europeo di Formula 3 con il Team Prema e si classifica terzo con due vittorie (Spielberg e Hockenheim). Nel 2019 conquista con una gara d’anticipo il titolo nel neonato campionato FIA di Formula 3 battendo il compagno nel team Prema e in FDA, Marcus Armstrong. Per Robert tre vittorie (Gara-1 a Barcellona; Gara-2 a Le Castellet e Gara-1 a Monza), altri sette piazzamenti sul podio, due pole position e due giri veloci.
Nel 2020 debutta in Formula 2 ottenendo quattro vittorie – più di chiunque altro – e si classifica quarto in campionato al volante della vettura del team Prema. Per il 2021 viene confermato nella squadra italiana e lotta per il titolo fino all’ultimo round con il compagno di squadra Oscar Piastri. A fine stagione gira con Haas F1 Team e Scuderia Ferrari nei test di fine campionato ad Abu Dhabi e viene annunciato da quest’ultima come Test Driver per la stagione 2022.
Nel 2023 viene promosso al ruolo di Reserve Driver e gareggia nel campionato GT World Challenge Europe – Endurance Cup con la Ferrari 296 GT3 del team AF Corse – Francorchamps Motors e di AF Corse ottenendo una vittoria nell’ultimo atto della stagione, a Barcellona, insieme ai compagni Alessio Rovera e Nicklas Nielsen. Nel mese di novembre 2023 per la prima volta prova la Ferrari 499P in occasione dei Rookie Test disputati in Bahrain, all’indomani dell’ultima prova iridata: in questa occasione Shwartzman registra il miglior tempo assoluto nei test.
Nel 2024 debutta nel FIA WEC in classe Hypercar con la Ferrari 499P numero 83, iscritta dal team clienti AF Corse (ed è confermato Reserve Driver di Scuderia Ferrari), in equipaggio con l’altro ufficiale del Cavallino Rampante, Yifei Ye; completa la line-up il pilota di AF Corse Robert Kubica.