Fils d’un éleveur de moutons néo-zélandais, il a été pilote de Formule 1 chez Ferrari de 1967 à 1969. Il est régulièrement monté sur le podium, par exemple à Monaco quand il finit troisième lors de sa première course pour la Scuderia, à seulement 23 ans. En 1967, il est arrivé quatre fois troisième.

En 1968, il aurait vraiment pu remporter le titre de champion du monde. Le duo Amon/Ferrari était le plus rapide de la saison. Un beau palmarès : trois pole positions, huit fois sur la première ligne de la grille de départ des 12 courses disputées et en tête de nombreux Grands Prix. Pourtant, des pannes mécaniques sans gravité l’ont privé à plusieurs reprises d’une possible victoire. 

Il menait le Grand Prix d’Espagne lorsqu’un fusible de la pompe à carburant sauta. À Spa en Belgique, il se classe premier aux qualifications avec près de quatre secondes d’avance et se bat pour la première place lorsqu’une pierre perce son radiateur d’huile. Au Grand Prix de Grande-Bretagne, il décroche la deuxième place après avoir bataillé pour la tête de la course. Au Grand Prix du Canada, Amon se dirige vers la victoire, mais il est victime d’une panne de boîte de vitesses. 

Amon mène de 40 secondes le Grand Prix d’Espagne, deuxième course de la saison 1969, avant de subir une panne de moteur. Il quitta Ferrari à la fin de cette décevante année, convaincu qu’il aurait plus de succès au sein d’une petite écurie britannique propulsée par le moteur Cosworth V8 alors dominant. Ce fut une mauvaise décision. En 1970, Ferrari connut une bonne année, grâce à une nouvelle monoplace F1 dotée d’un moteur V12 à plat, la 312B. Le nouveau leader de l’équipe, Jacky Ickx, remporte trois courses et se classe de justesse deuxième au Championnat du monde cette année-là. 

Amon n’a peut-être jamais remporté de Grand Prix, mais il a su se distinguer dans de nombreux autres sports automobiles. Son contrat avec Ferrari comprenait des courses de voitures de sport : il fit notamment équipe avec Lorenzo Bandini en 1967 aux 24 Heures de Daytona, course qu’ils remporteront au volant de la 330 P4. Ce fut l’une des plus grandes victoires de la Scuderia, Ferrari scrutant les trois places du podium. Cette même année, il gagna également les 1000 km de Monza et aida Ferrari à remporter le titre Constructeurs du Championnat du monde des voitures de sport en 1967.

Il décrocha également avec Ferrari la première place de la Formule Tasmane en 1969, année qui marqua la fin du Championnat au niveau international. La Formule Tasmane, qui se courait en Nouvelle-Zélande et en Australie en janvier-février durant l’intersaison du Championnat de F1, était réservée aux voitures F1 des années précédentes. Amon s’adjuge quatre des sept courses, dont les Grands Prix de Nouvelle-Zélande et d’Australie, en pilotant une Dino 246 avec moteur V6 : fondamentalement, une voiture de Formule 2 mais plus puissante. Parmi les pilotes qu’il a battus figure le champion du monde en titre, Graham Hill.

Amon avait quitté la Nouvelle-Zélande à l’âge de 19 ans au début des années 60 après avoir été repéré par le propriétaire de l’écurie de F1 anglaise Reg Parnell. Il avait vu Amon courir sur une vieille Maserati 250F et pensait que seul Fangio avait aussi bien conduit une 250F. Au milieu des années 70, Amon ne dissimula pas son souhait de retourner en Nouvelle-Zélande. Il finit par se retirer de la Formule 1, à l’âge de 33 ans, après le terrible accident de Niki Lauda au Nürburgring en 1976. Il reprit la gestion de l’élevage de moutons de sa famille avec sa femme Tish en 1977. Un cancer l’emporta à l’âge de 73 ans en 2016.

Longtemps après son retrait des courses, on le questionna sur sa malchance notoire. Non, répondit-il. Il a été l’un des chanceux. Énormément de ses amis et coéquipiers de cette époque sont morts : « moi, je suis toujours là ».